Projet 2017/18 - BTS DE et DP - Cristallographie
Prévoir une visite du
musée des minéraux au jardin des plantes à Paris
Le but de
l’approfondissement :
•
Découvrir
les cristaux et leurs propriétés.
•
Construire
les polygones et polyèdres leur servant de base.
•
Déterminer leurs aires et volumes.
•
Réaliser
une création dont la structure tournera autour des cristaux.
•
Mettre
en scène les productions pour les Journée Portes Ouvertes du lycée Camille Claudel de VAUREAL.
La cristallographie géométrique
On rencontre
dans la nature des formes géométriques complexes : ce sont les réseaux
cristallins de certains minéraux. On retrouve dans les minéraux tous les
solides géométriques connus. Souvent ils sont déformés ou ne présentent que quelques faces du solide,
mais il n’est pas rare de trouver ces cristaux bien formés.
Ils furent
étudiés avec précision dès le 18è siècle par l'abbé René Just Haüt,
minéralogiste français (1743-1822) considéré comme le "père" de la
cristallographie, puis par le
physicien, astronome et minéralogiste Auguste Bravais (1811-1863). En 1915,
William Laurence Bragg partage le prix Nobel de Physique, avec son père William
Henry, pour ses recherches sur les structures cristallines et les premiers
travaux sur la radiocristallographie.
- · Constance des angles
C’est à la fin du
XVIIIe siècle que débute l’étude géométrique des cristaux. Romé de l’Isle
(1736-1790) confie à Arnould Carangeot (1742-1806) la tâche de mesurer l’angle
dièdre (un angle entre deux plans) de différents cristaux. Celui-ci conçoit un
goniomètre muni d’une alidade ou réglette mobile qui permet de mesurer
précisément les angles dièdres.
Ces mesures
permettent à Romé de l’Isle d’énoncer la première loi sur la structure des
cristaux. Dans son traité de Cristallographie, ou description des formes propres à tous les
corps du règne minéral, édité en 1772, il énonce la loi de la
constance des angles :
Les angles entre les faces
naturelles des cristaux se conservent, pour un corps donné, d’un échantillon à
l’autre.
Cette
loi est cependant insuffisante pour décrire les diverses formes cristallines.
Activité N°1 : Faire une recherche et construire un goniomètre simple
Exemple de goniomètre http://bidouillesetmathscollege.blogspot.fr/2012/03/topographie-goniometre-simplifie.html
- Loi de stratification multiple d'Haüy 1784 ou processus de croissance
René-Just Haüy (1743-1822), en examinant un
échantillon de calcite, lâche malencontreusement le cristal qui se brise en
plusieurs morceaux. Haüy constate que tous les morceaux conservent la même
forme ; il vient de découvrir le phénomène de clivage des cristaux. Pour
étudier plus en détail ce phénomène, il procède, dit-on, à la multiplication
des cristaux de sa collection à coups de marteau.
Cette étude systématique lui permet de
développer une théorie sur la structure des cristaux qu’il publie sept ans plus
tard. Sa conclusion est que la
régularité des formes extérieures d’un cristal reflète exactement l’arrangement
des éléments qui le constituent. Il appelle « molécules constituantes » les
unités de volume de matière qui, empilées forment le cristal, et il démontre la
loi de constance des angles observée par Romé de l’Isle.
Il en vient à la conclusion que les cristaux naturels sont constitués
par l’empilement régulier de plusieurs molécules constituantes qui s’emboîtent
parfaitement pour constituer un solide homogène. Les molécules constituantes
forment des couches parallèles qui sont des couches de croissance.
Le nombre de
parallépipèdes formant chacune des couches est décroissant, les faces d’un
cristal sont donc formées de minuscules
gradins.
Maille et réseau cristallin
Maille : Tous les minéraux ont été classés selon la
forme de leurs cristaux dans 7 systèmes cristallins.
Chacun de ses systèmes est défini
par un polyèdre de base simple (molécule constituante ou maille
élémentaire) : cube, prisme à base carré, prisme à base rectangulaire,
prisme à base hexagonale, prisme à base
losange, parallélépipède incliné et parallélépipède incliné selon les rois
dimensions.
Chacun de ses solides présentent des axes et plans de
symétries 
Réseau cristallin et maille Modèles
cristallographiques en différents
matériaux: bois, papier, verre, fil de fer.
Réseaux
de Bravais
Le réseau cristallin est engendré par la
translation de cette maille dans toutes les directions de l'espace. Les
dimensions de la maille seront les paramètres du réseau.
À partir des sept
types de prismes susceptibles de remplir l’espace sans laisser de vide, Auguste
Bravais* (1811-1863) a identifié 32 classes de symétrie.
Celles-ci sont
réparties en 14 types de réseaux regroupés en 7 systèmes cristallins
caractérisés par la forme de la maille élémentaire.
Pour étudier et
décrire les systèmes cristallins, il est pratique de recourir à leurs axes de
référence et à leurs symétries. Les axes de référence sont trois axes
imaginaires parallèles aux faces du cristal.
La direction et
la longueur de ces trois axes sont en relation avec trois arêtes concourantes
d’une maille élémentaire.
Activité N°2 : Construction des mailles élémentaires :
Création des patrons et réalisation des
polyèdres constituant chacune des 7 mailles élémentaires en utilisant les
descriptifs ci-dessus à droite.
Zoom sur un des systèmes : Le système cubique.
Quelques minéraux du
système cubique, c’est-à-dire de forme cubique ou en dérivant.
Activité N°3 : Recherche d’axes et de plans de
symétrie du cube
Pour cette activité, il faudra construire cinq cubes en carton ou
canson épais ou mieux en matériaux
transparents pour rendre l’aspect des cristaux.
Décrire le cube, le représenter en perspective cavalière puis trouver ses trois axes de symétrie et ses deux plans de symétrie. Les matérialiser sur les 5 cubes construits
au départ.
Activité N°4 : Constructions de polyèdres dans le cadre du
système cubique, quelques cubes tronqués
Le
“cube-octaèdre d’Archimède”
Imaginons un cube sur lequel on marque le milieu
des arêtes, (par exemple, comme les trois points A, B et C du cube ci-contre).
Ensuite, on découpe d’un trait de scie un morceau tétraédrique à chaque coin du
cube, chaque trait de scie passant par trois milieux.
Le solide obtenu après un tel découpage s’appelle
le “cube-octaèdre d’Archimède”
Le
“polyèdre de lord Kelvin”
·
Décrire
le “cube-octaèdre d’Archimède” [sommets, arêtes et faces] et en
réaliser un patron en partant d’un cube de 8 cm d’arête.
·
Déterminer
l’aire et le volume d’un cube “cube-octaèdre d’Archimède” dont
les arêtes ont pour longueur a.
Ce
polyèdre peut s’obtenir comme le cube-octaèdre d’Archimède mais ici, on scie
selon des sections passant par des points situés aux quarts des médiatrices des
faces, comme A, B, C, D, E, F.
·
Décrire
le “polyèdre de lord Kelvin” [sommets, arêtes et faces] et en
réaliser un patron en partant d’un cube de 8 cm d’arête. Construire plusieurs
solides.
·
En
utilisant plusieurs “polyèdre de lord Kelvin”, trouver comment
ces polyèdres “pavent” l’espace.
Activité N° 5 : Et enfin un autre système : rhomboèdre
et nombre d’or
·
Construire
un rhomboèdre dont les six faces sont des losanges identiques, selon la
démarche suivante :
-Tracer
un triangle TRI rectangle en T tel que TI = 2,3 cm et la tangente de l’angle RIT est égale à 2.
-Construire
le losange MIRE tel que les points M, T, I soient alignés.
-Déterminer le rapport entre la
longueur de la petite diagonale [RM] et celle de la grande [EI], vérifier que
ce rapport est égal au nombre d’or.
Production personnelle
Créer un
lieu de vie ou des objets composés à partir de cristaux et des études réalisées
précédemment.
Représentation en perspective
Patron du ou des polyèdres utilisés
Patron du ou des polyèdres utilisés
Vue d’ensemble en situation
Création de l’objet ou maquette du
lieu de vie
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